Ellipses – Coniques

Dans deux articles précédents (le soleil …, les saisons), j’ai parlé de la trajectoire elliptique décrite par les planètes autour du soleil. J’ai défini l’ellipse de façon très sommaire comme étant un cercle aplati qui, de ce fait, possédait un grand axe et un petit axe. J’ai même précisé que le Soleil occupait l’un des foyers de cette ellipse.

Mais de quoi s’agit-il exactement ? Qu’est ce qu’une conique ? Qu’est ce qu’une ellipse ?

Les coniques sont des courbes définies comme l’intersection entre un plan et un cône de révolution. Trois familles de coniques sont ainsi définies, selon la position du plan par rapport au cône. On a les paraboles, les hyperboles et les ellipses.

On obtiendra une ellipse si le plan de section est incliné sur l’axe, mais il ne coupe qu’une seule des deux nappes. On aura une hyperbole si le plan est incliné ou parallèle à l’axe et coupe les deux nappes. Enfin, on aura une parabole si le plan est parallèle à un plan tangent au cône. Le cercle est un cas particulier d’ellipse, lorsque le plan de section est perpendiculaire à l’axe.

C’est déjà un peu plus clair comme cela, pas vrai ?

De manière intéressante, les coniques ont été étudiées depuis l’antiquité.  C’est APOLLONIUS DE PERGE au IIIe siècle av. J.-C. qui a écrit un ouvrage de référence sur les coniques: Kônika (traité sur les sections coniques), ouvrage qui sera restauré par Fermatsous le titre: Lieux plans d’Apollonius

Ce sont, après les droites, les courbes planes les plus simples et les plus fréquemment rencontrées. A l’heure actuelle, elles sont surtout considérées, d’un point de vue mathématique, comme les courbes planes ayant une équation polynomiale du second degré. Elles jouissent de propriétés géométriques remarquables et interviennent dans de nombreux problèmes physiques, en particulier en cinématique (mouvement des planètes) et en optique géométrique (miroirs). Comme je l’ai écrit à de multiples reprises, les planètes décrivent une ellipse autour de leur étoile. Les comètes non périodiques suivent des paraboles ou hyperboles. Les fusées ou engins spaciaux décrivent des courbes constituées de tronçons de coniques (approximation). Les télescopes à réflexion concentrent la lumière en utilisant les propriétés d’une des trois coniques (la parabole dans la majorité des cas). Le grand public connait bien les antennes paraboliques servant à capter la télévision.

Mais comment les définit-on, ces coniques, de manière plus précise, en mathématiques ?

Il existe de nombreuses façons de les définir, comme lieux géométriques de points satisfaisant une propriété donnée. Ainsi, le cercle peut être définit de manière très simple comme le lieu géométrique des points situés à égale distance d’un point fixe.

Si l’on appelle O, le centre du cercle, le point fixe mentionné, on obtient bien évidemment que les points M du cercle doivent être situés à une distance du centre O égale au rayon (R) de ce cercle. Dans le repère approprié suivant :

on peut donc écrire que la distance MO = R, et donc :

Une ellipse, quant à elle, peut être définie comme le lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante.

Si l’on appelle F1 et F2 les deux points fixes et 2a la somme des distances des points M de l’ellipse à ces deux points fixes, on aura MF1 + MF2 = 2a dans le repère approprié suivant, et donc :

et sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l’ellipse, comme montré sur la figure ci plus-haut. Remarquez que l’on retrouve bien le cercle comme cas particulier de l’ellipse, avec a = b = R 🙂

Pour l’hyperbole, étant donnés deux points fixes et F’, c’est l’ensemble des points du plan dont la différence des distances à et F’ est constante. la situation est représentée sur la figure suivante :

Etant donnés deux réels strictement positifs et b, une hyperbole est l’ensemble des points M(x, y) du plan vérifiant |MF – MF’| = Constante = 2a. On montre que cela conduit à l’équation :

porte le nom de demi-grand axe, b celui de
demi-petit axe et , sur le graphique ci-dessus, les droites en bleu sont ce que l’on appelle les asymptotes de l’hyperbole.

Nous finissons (ouf !) avec la parabole qui, étant donnés un point et une droite D, est l’ensemble des points du plan dont les distances au point et à sont égales : MF = MH. Dans un repère approprié de nouveau :  

On montre que l’équation de la parabole est :

où F est le foyer, D s’appelle la directrice et p, un nombre réel positif,  porte le nom de paramètre de la parabole.

Voilà voilà, on en a fini pour cette fois avec les coniques. Sachez qu’il y a d’autres façons de les définir, plein de propriétés amusantes encore à découvrir. Soyez curieux et, si cela vous intéresse, explorez le web pour en savoir plus. Pour ma part, comme ce coin des maths sert à donner quelques bases mathématiques aux notions qui sont développées dans le coin des sciences, je m’arrêterai ici 🙂

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Quel est l’origine des saisons ?

Nous avons vu dans un précédent article (pourquoi le soleil se lève toujours à l’est et se couche toujours à l’ouest) que la Terre tourne autour du soleil en effectuant une trajectoire elliptique, le soleil occupant l’un des 2 foyers de l’ellipse.

On pourrait donc croire, vue la forme d’une ellipse, que lorsque la Terre est au bout d’un demi-grand axe, au point le plus éloigné par rapport au soleil (ce que l’on appelle l’aphélie), il fait le plus froid sur Terre. Au contraire, lorsque la terre serait au point le plus poche du soleil (le périhélie), il ferait le plus chaud. Comme la Terre met effectivement un an à tourner autour du soleil, cela expliquerait les 6 mois d’intermittence entre été et hiver.

Et bien, malheureusement (ou pas d’ailleurs), cette explication n’est pas la bonne !

En effet, la situation représentée ci-dessus est exagérée. Si la terre décrit bien une orbite elliptique autour du soleil, cette dernière s’apparente en effet à un cercle, l’orbite elliptique étant en fait très peu aplatie et le Soleil se trouvant à peu près au centre de ce cercle.

De fait, la distance de la Terre au soleil est de 150 millions de km et les variations de cette distance au cours du parcours de la Terre autour du soleil sont seulement de l’ordre de 5 millions de km. L’écart relatif est donc de 5 / 150 = 1 / 30. A notre échelle, c’est comme si l’on plaçait un brasero au centre d’une clairière, pour nous réchauffer en hiver, et que l’on se plaçait à une distance de 3 m de ce brasero (distance raisonnable pour ne pas se brûler en parlant avec les autres convives 🙂 ), tout en effectuant des petits déplacements de 10 cm vers ou dans la direction opposée au brasero, engagés comme nous le sommes dans notre conversation. Il est évident que ce ne sont pas ces petites variations de 10 cm par rapport aux 3 m qui nous séparent du brasero qui vont faire que l’on ait plus chaud ou froid !

A quoi sont donc dues nos saisons ?

Et bien, l’élément important que nous avons déjà discuté précédemment est que la terre tourne sur elle-même en 24 h tout en faisant le tour du soleil. Mais la Terre ne tourne pas sur un axe perpendiculaire au rayon vecteur qui la joint au soleil. L’axe de rotation de la terre est incliné par rapport à la normale au plan de l’écliptique (plan dans lequel les planètes du système solaire effectuent leurs trajectoires elliptiques).

Très bien, allez-vous me dire et qu’est-ce que cela change ?

Cela change que la densité des rayons solaires que nous recevons n’est pas la même en été et en hiver. Si l’on représente un faisceau de lumière qui nous éclaire en été ou en hiver, la situation ressemble aux figures suivantes :

Les rayons arrivent plus « rasants » en hiver et donc, pour un « même nombre de rayons solaires » arrivant (tube de section fixée représenté sur le schéma), ces rayons doivent éclairer une plus grande surface et il y aura donc moins de rayons par unité de surface éclairée (et donc une densité de rayons lumineux moindre en hiver). Comme l’énergie absorbée sur Terre (et donc la température) est proportionnelle à cette densité de rayons lumineux arrivant sur une surface donnée et que cette dernière est moindre en hiver, il y fera donc moins chaud. Notons ici qu’un tube lumineux de section fixée éclairant la France en été éclairerait la France, l’Espagne et le Royaume-Uni en hiver. Revoyons cette situation au cours du mouvement de la Terre autour du soleil :

Lorsque l’axe de rotation de la Terre est orienté vers le Soleil, on a donc le solstice d’été, la période la plus chaude de l’année. Lorsque l’axe est orienté dans une direction qui va à l’opposé du rayon vecteur qui joint la Terre en Soleil, on observe le Solstice d’hiver. Enfin, lorsque l’axe de rotation de la Terre est orienté perpendicu­lairement par rapport au rayon vecteur T-S, on observe les équinoxes de printemps et d’Automne.

Voilà, nous avons donc, dans cet article, expliqué l’origine des saisons sur Terre. Ces dernières sont dues à l’inclinaison de l’axe de rotation de la Terre par rapport à la normale au plan de l’écliptique.

Remarquons ici aussi (dernier graphe ci-dessus), qu’à nos latitudes, le soleil se lève en fait au nord-est et se couche au nord-ouest en été et qu’il se lève au sud-est et se couche au sud-ouest en hiver, re-précisant ainsi les affirmations de notre article précédent.

On peut se rendre compte également qu’aux régions polaires, le soleil peut « ne pas se coucher » puisque, dû à l’inclinaison de l’axe de la Terre, ces régions peuvent être illuminée continûment lors de la rotation : c’est le jour polaire. Inversement, le soleil peut « ne pas se lever », car ces régions restent dans l’ombre du soleil : c’est la nuit polaire.

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A quoi servent les maths ?

À quoi servent les maths? Mais faut-il absolument que les maths servent à quelque chose?

Cette question de l’utilité hérisse bien entendu le poil de nombreux professeurs. Qui plus est, elle est inscrite en filigrane dans les programmes et les consignes des inspecteurs et inspectrices. Depuis quelques années, de nombreux rapports insistent sur l’importance de «donner du sens» aux maths à nos étudiants.

L’objectif est d’éviter que les maths ne deviennent une langue morte, pratiquée seulement par une poignée d’irréductibles capables d’en maîtriser la grammaire.

D’après l’une des études scientifiques menées sur le sujet, les difficultés en mathématiques pourraient être dues à un problème de mémoire procédurale [1], la même qui fait que «nous construisons une phrase grammaticalement juste, sans y penser, ou que nous conduisons une voiture sans réfléchir et sans verser pour autant dans le fossé». Il ne s’agirait donc pas simplement d’un problème de travail ou d’apprentissage, mais bien d’une différence de structure du cerveau.

Même avec la meilleure volonté du monde, une partie des élèves n’aurait juste pas la capacité de comprendre les subtilités de cette discipline affirme cette étude.

Qui plus est, les maths deviennent vite une angoisse, qui se transmettrait des parents aux enfants. La peur liée aux fractions, aux racines carrées, aux logarithmes ou encore aux théorèmes de Thalès et de Pythagore se transmet comme une sorte de tradition orale. Si donc les maths vous angoissent, n’aidez pas vos enfants à faire leurs devoirs car vous risquez de leur transmettre votre anxiété… laquelle peut même entraîner d’atroces migraines, affirme une autre étude.

Mais pourquoi les maths sont-elles mal aimées, considérées comme difficiles?

Les maths sont un langage : pour faire des choses intéressantes il faut d’abord en maîtriser la grammaire et l’orthographe. Il y a donc des règles qu’il faut apprendre à appliquer automatiquement, sans les remettre en question, sans les oublier, comme en français.

Il faut de la rigueur, qui est une forme de discipline : plus qu’ailleurs il faut ici appliquer des règles, ne pas se contenter d’à-peu-près. Cela s’apprend, mais c’est difficile. Ce qui fait que la plupart sont découragés par les maths bien avant de franchir cet obstacle, et d’atteindre les moments gratifiants, ceux où l’on comprend.

Les maths sont exigeantes : si l’on veut assimiler le langage, il faut de la pratique, et cela demande des efforts, de la patience et du travail en dehors des cours. On ne peut pas espérer sortir de cours en ayant tout retenu. Il y a certes une grande gratification quand on vient à bout d’une difficulté, mais c’est vrai qu’il y a aujourd’hui des distractions plus immédiates…

Pourquoi faut-il donc absolument les étudier? Pourquoi font-elles donc parties de tout cursus scolaire?

La plupart des théories mathématiques enseignées à l’école ne serviront pas à la plupart des élèves. Cependant, on pourrait dire de même de la plupart des enseignements scolaires : aucun enseignement ne « sert » directement, si ce n’est lire/écrire, etc.

Pourquoi l’école alors ?

Il s’agit de mettre en place une capacité d’expression et de raisonnement, qui permettra ensuite de vivre en société, réfléchir, et apprendre rapidement les savoirs pratiques dont on pourrait avoir besoin par la suite : conduire une voiture, faire une mise en page sur un traitement de texte, installer un logiciel sur un ordinateur, etc. Si ces tâches s’apprennent vite, c’est grâce au travail préparatoire effectué par l’école. En particulier, les maths (et les sciences) constituent le domaine qui donne le mieux des rudiments de logique (distinguer cause et conséquences, hypothèse et conclusion). En maths, on apprend à distinguer ce qu’on sait avec certitude (qu’on ne remettra pas en question) de ce dont on n’est pas sûr, et ceci servira partout.

C’est malheureusement loin d’être maîtrisé par la plupart ! Au contraire, si on enseignait à l’école uniquement ce qui sert directement : écrire un CV, utiliser un tableur, faire une facture, rédiger des lettres officielles, je ne suis pas sûr que cela paraîtrait super-passionnant. C’est une chance et un luxe de pouvoir se permettre de penser à autre chose que la stricte survie immédiate.

A côté de cela, s’il est vrai que les maths ne servent pas à tous, elles peuvent servir dans beaucoup de domaines, si bien qu’elles sont une compétence recherchée (pas de problèmes de débouchés pour les professions scientifiques en général). D’ailleurs, s’il est vrai que beaucoup exercent des métiers très éloignés de leur discipline d’études (par exemple toutes les professions commerciales), ceux qui choisissent une profession en liaison avec les sciences (donc des maths) ont plus souvent la chance de continuer à en faire, et d’avoir donc un travail intellectuellement plus stimulant. Et puis, il faut en être conscient, les innovations qui voient le jour aujourd’hui, et donc permettent à notre pays de s’en sortir dans la compétition économique internationale, se font majoritairement grâce aux scientifiques, et ils maîtrisent les maths comme il se doit …

Sur ce site, mon objectif est d’introduire / d’utiliser les notions mathématiques comme éléments de langage privilégiés pour comprendre la physique, la chimie, … la nature profonde (beauté) des choses en science. Il est en effet très fréquent de trouver dans les mathématiques une efficacité « non raisonnable » pour aborder les sciences naturelles (« The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences »), et c’est cela que je veux introduire ici, de la façon la plus simple possible.

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[1]Evans, T. M., & Ullman, M. T. (2016). An Extension of the Procedural Deficit Hypothesis from Developmental Language Disorders to Mathematical Disability. Frontiers in psychology7, 1318. doi:10.3389/fpsyg.2016.01318