Ellipses – Coniques

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Dans deux articles précédents (le soleil …, les saisons), j’ai parlé de la trajectoire elliptique décrite par les planètes autour du soleil. J’ai défini l’ellipse de façon très sommaire comme étant un cercle aplati qui, de ce fait, possédait un grand axe et un petit axe. J’ai même précisé que le Soleil occupait l’un des foyers de cette ellipse.

Mais de quoi s’agit-il exactement ? Qu’est ce qu’une conique ? Qu’est ce qu’une ellipse ?

Les coniques sont des courbes définies comme l’intersection entre un plan et un cône de révolution. Trois familles de coniques sont ainsi définies, selon la position du plan par rapport au cône. On a les paraboles, les hyperboles et les ellipses.

On obtiendra une ellipse si le plan de section est incliné sur l’axe, mais il ne coupe qu’une seule des deux nappes. On aura une hyperbole si le plan est incliné ou parallèle à l’axe et coupe les deux nappes. Enfin, on aura une parabole si le plan est parallèle à un plan tangent au cône. Le cercle est un cas particulier d’ellipse, lorsque le plan de section est perpendiculaire à l’axe.

C’est déjà un peu plus clair comme cela, pas vrai ?

De manière intéressante, les coniques ont été étudiées depuis l’antiquité.  C’est APOLLONIUS DE PERGE au IIIe siècle av. J.-C. qui a écrit un ouvrage de référence sur les coniques: Kônika (traité sur les sections coniques), ouvrage qui sera restauré par Fermatsous le titre: Lieux plans d’Apollonius

Ce sont, après les droites, les courbes planes les plus simples et les plus fréquemment rencontrées. A l’heure actuelle, elles sont surtout considérées, d’un point de vue mathématique, comme les courbes planes ayant une équation polynomiale du second degré. Elles jouissent de propriétés géométriques remarquables et interviennent dans de nombreux problèmes physiques, en particulier en cinématique (mouvement des planètes) et en optique géométrique (miroirs). Comme je l’ai écrit à de multiples reprises, les planètes décrivent une ellipse autour de leur étoile. Les comètes non périodiques suivent des paraboles ou hyperboles. Les fusées ou engins spaciaux décrivent des courbes constituées de tronçons de coniques (approximation). Les télescopes à réflexion concentrent la lumière en utilisant les propriétés d’une des trois coniques (la parabole dans la majorité des cas). Le grand public connait bien les antennes paraboliques servant à capter la télévision.

Mais comment les définit-on, ces coniques, de manière plus précise, en mathématiques ?

Il existe de nombreuses façons de les définir, comme lieux géométriques de points satisfaisant une propriété donnée. Ainsi, le cercle peut être définit de manière très simple comme le lieu géométrique des points situés à égale distance d’un point fixe.

Si l’on appelle O, le centre du cercle, le point fixe mentionné, on obtient bien évidemment que les points M du cercle doivent être situés à une distance du centre O égale au rayon (R) de ce cercle. Dans le repère approprié suivant :

on peut donc écrire que la distance MO = R, et donc :

Une ellipse, quant à elle, peut être définie comme le lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante.

Si l’on appelle F1 et F2 les deux points fixes et 2a la somme des distances des points M de l’ellipse à ces deux points fixes, on aura MF1 + MF2 = 2a dans le repère approprié suivant, et donc :

et sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l’ellipse, comme montré sur la figure ci plus-haut. Remarquez que l’on retrouve bien le cercle comme cas particulier de l’ellipse, avec a = b = R 🙂

Pour l’hyperbole, étant donnés deux points fixes et F’, c’est l’ensemble des points du plan dont la différence des distances à et F’ est constante. la situation est représentée sur la figure suivante :

Etant donnés deux réels strictement positifs et b, une hyperbole est l’ensemble des points M(x, y) du plan vérifiant |MF – MF’| = Constante = 2a. On montre que cela conduit à l’équation :

porte le nom de demi-grand axe, b celui de
demi-petit axe et , sur le graphique ci-dessus, les droites en bleu sont ce que l’on appelle les asymptotes de l’hyperbole.

Nous finissons (ouf !) avec la parabole qui, étant donnés un point et une droite D, est l’ensemble des points du plan dont les distances au point et à sont égales : MF = MH. Dans un repère approprié de nouveau :  

On montre que l’équation de la parabole est :

où F est le foyer, D s’appelle la directrice et p, un nombre réel positif,  porte le nom de paramètre de la parabole.

Voilà voilà, on en a fini pour cette fois avec les coniques. Sachez qu’il y a d’autres façons de les définir, plein de propriétés amusantes encore à découvrir. Soyez curieux et, si cela vous intéresse, explorez le web pour en savoir plus. Pour ma part, comme ce coin des maths sert à donner quelques bases mathématiques aux notions qui sont développées dans le coin des sciences, je m’arrêterai ici 🙂

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