Terminale : les primitives

Bonjour à tous et

bienvenue dans ce nouveau module sur les primitives. Comme d’habitude, je commence par une petite introduction/motivation du sujet : qu’est-ce qu’une primitive ? et pourquoi étudier les primitives ?

Tout d’abord et assez grossièrement, disons que calculer une primitive, c’est réaliser l’opération inverse de la dérivée. En Terminale, vous avez eu une première notion des primitives dans le cours de physique où vous avez déterminé le mouvement d’un corps à partir de la relation fondamentale de la dynamique. Vous savez que la somme des forces qui s’exercent sur un corps pour le mettre en mouvement est égale au produit de la masse par l’accélération. Connaissant les forces mises en jeu et la masse du corps envisagé, vous pouvez donc remonter à l’accélération. A partir de cette dernière, vous pouvez obtenir (par primitive) la vitesse et puis (par primitive de nouveau) la position du corps parce que la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps et l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. On effectue donc ces deux opération inverses pour passer de l’accélération à la position, c’est-à-dire que l’on effectue deux fois un calcul de primitive.

Un deuxième aspect important des primitives est que l’on appelle le calcul intégral où les primitives permettent en fait de calculer des aires, des volumes ou même des moyennes de fonctions sur un certain intervalle. Par exemple, on sait comment calculer l’aire des figures élémentaires comme les triangle, trapèze ou disque et même certains polygones en découpant la figure en un certain nombre de triangles. On sait faire cela depuis longtemps (depuis l’école primaire en fait) mais, ce qu’on sait moins faire, c’est calculer l’aire d’une figure dont un côté est courbe. Le calcul intégral permet de répondre à cette question. Il permet de calculer des aires soit entre une courbe h(x), 2 droites verticales at un axe horizontal, soit entre deux courbes h(x) et g(x). Le calcul intégral permet également de déterminer la moyenne d’une fonction sur un intervalle donné.

Ce sont là des exemples très concrets de ce que l’on peut faire avec les primitives.

En ce qui concerne l’organisation du module, on va d’abord aborder les rappels de ce que vous avez vu en cours afin que vous puissiez faire vos fiches de révision, très utile pour la veille des grands jours. Ensuite, vous aurez un quizz pour vous assurer que vous avez bien acquis ces rappels. il sera suivi des méthodes et des exercices.

Plus précisément, dans les rappels sur les fonctions primitives on va voir comment calculer l’aire d’une courbe de façon générale. On va définir la notion de primitive et donner ce qu’on appelle le théorème fondamental. Ensuite, on va calculer toute une série de primitives. Pour ce faire, il faut essentiellement connaître les tableaux de dérivées de fonctions. Il est nécessaire de bien se rappeler ce qu’est la dérivée d’une fonction et savoir la calculer. Grâce à cela et en lisant le tableau des dérivées en sens inverse, on aura grosso modo le tableau des primitives. On terminera avec le concept d’intégrale et on verra en particulier les propriétés des intégrales tels que la relation de Chasles, la linéarité et on calculera une valeur moyenne grâce aux intégrales.

Voilà, avec la motivation présentée ci-dessus, j’espère vous avoir convaincu que le calcul des primitives est utile et je vous attends sans attendre donc la partie rappels ci-dessous …

Veuillez trouver l’introduction à ce module en version audio/vidéo ici et vous pouvez consulter les autres parties en cliquant sur les liens suivants :

Rappels de cours

Quizz

Méthodes

Exercices finaux

A bientôt, portez vous bien et sortez le moins possible 🙂

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